9.3.2. Нечеткая логика

Ту роль, которую в классической теории множеств играет двузначная булева логика, в теории нечетких множеств играет многозначная нечеткая логика, в которой предположения о принадлежности объекта множеству, например FAST-CAR(Porche-944), могут принимать действительные значения в интервале от 0 до 1. Возникает вопрос, а как, используя концепцию неопределенности, вычислить значение истинности сложного выражения, такого как

¬FAST¬CAR(Chevy-Nova).

По аналогии с теорией вероятности, если F представляет собой нечеткий предикат, операция отрицания реализуется по формуле

¬F(X)=1-F(X).

Но аналоги операций конъюнкции и дизъюнкции в нечеткой логике не имеют никакой связи с теорией вероятностей. Рассмотрим следующее выражение:

"Porche 944 является быстрым (fast), представительским (pretentious) автомобилем". В классической логике предположение

FAST-CAR(Porche-944) ^PRETENTIOUS-CAR(Porche-944)

является истинным в том и только в том случае, если истинны оба члена конъюнкции. В нечеткой логики существует соглашение: если F и G являются нечеткими предикатами, то

Таким образом, если

FAST-CAR(Porche-944) = 0.9

PRETENTIOUS-CAR(Porche-944) = 0.7,

то

FAST-CAR(Porche-944) ^ PRETENTIOUS-CAR(Porche-944) = 0.7.

А теперь рассмотрим выражение

FAST-CAR(Porche-944) ^ ¬FAST-CAR(Porche-944).

Вероятность истинности этого утверждения равна 0, поскольку

P(FAST-CAR(Porche-944) | ¬FAST-CAR(Porche-944)) = 0,

но в нечеткой логике значение этого выражения будет равно 0.1 . Какой смысл имеет это значение. Его можно считать показателем принадлежности автомобиля к нечеткому множеству среднескоростных автомобилей, которые в чем-то близки к быстрым, а в чем-то — к медленным.

Смысл выражения FAST-CAR(Porche-944) = 0.9 заключается в том, что мы только на 90% уверены в принадлежности этого автомобиля к быстрым именно из-за неопределенности самого понятия "быстрый автомобиль". Вполне резонно предположить, что существует некоторая уверенность в том, что Porche-944 не принадлежит к быстрым, например он медленнее автомобиля, принимающего участие в гонках "Формула-1".

Аналог операции дизъюнкции в нечеткой логике определяется следующим образом:

f(_{F v G})(X) = max(f_F(X),f_G(X)).

Здесь также очевидна полная противоположность с теорией вероятностей, в которой

Р(А v В) = Р(А) + Р(B) - Р(А ^ В) .

Рассмотрим следующие предположения и значения истинности их принадлежности к нечеткому множеству FAST-CAR:

FAST-CAR(Porche-944) v ¬FAST-CAR(Porche-944) = 0.9,

FAST-CAR(BMW-316) v FAST-CAR(BMW-316) = 0.5,

FAST-CAR(Chevy-Nova) v FAST-CAR(Chevy-Novd) = 0.9.

Значение вероятности истинности каждого из этих предположений, как это определено в теории вероятностей, равно 1. В нечеткой логике более высокие значения для автомобилей Porche-944 и Chevy-Nova объясняются тем фактом, что степень принадлежности каждого из этих объектов к нечеткому множеству FAST-CAR выше. Нечеткость концепции "быстрый или не быстрый" более благоприятна для них, чем для более медленного BMW-316, который "ни рыба ни мясо".

Операторы обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и взаимной дистрибутивности. Как к операторам в стандартной логике, к ним применим принцип композитивности, т.е. значения составных выражений вычисляются только по значениям выражений-компонентов. В этом операторы нечеткой логики составляют полную противоположность законам теории вероятностей, согласно которым при вычислении вероятностей конъюнкции и дизъюнкции величин нужно принимать во внимание условные вероятности.