9.3.3. Теория возможности

Нечеткая логика имеет дело с ситуациями, когда и сформулированный-вопрос, и знания, которыми мы располагаем, содержат нечетко очерченные понятия. Однако нечеткость формулировки понятий является не единственным источником неопределенности. Иногда мы просто не уверены в самих фактах. Если утверждается: "Возможно, что Джон сейчас в Париже", то говорить о нечеткости понятий Джон и Париж не приходится. Неопределенность заложена в самом факте, действительно ли Джон находится в Париже.

Теория возможностей является одним из направлений в нечеткой логике, в котором рассматриваются точно сформулированные вопросы, базирующиеся на неточных знаниях. В этом разделе вы познакомитесь только с основными идеями этой теории. Лучше всего это сделать на примере.

Предположим, что в ящике находится 1 0 шаров, но известно, что только несколько из них красных. Какова вероятность того, что на удачу из ящика будет вынут красный шар?

Просто вычислить искомое значение, основываясь на знаниях, что только несколько шаров красные (red), нельзя. Тем не менее для каждого значения X из P(RED) в диапазоне [0,1] можно следующим образом вычислить возможность, что P(RED) = Х.

Во-первых, определим "несколько" (several) как нечеткое множество, например, так:

f_SEVERAL = {(3, 0.2), (4, 0.6), (5, 1.0), (6, 1.0), (7, 0.6), (8, 0.3)} .

В этом определении выражение (3, 0.2) е f_SEVERAL означает, что 3 из 10 вряд ли можно признать как "несколько", а выражения (5, 1 .0) е f_SEVERAL и (6, 1 .0) е f_SEVERAL означают, что значения 5 и 6 из 10 идеально согласуются с понятием "несколько". Обратите внимание на то, что в определение нечеткого множества не входят значения 1 и 10, поскольку интуитивно ясно, что "несколько" означает "больше одного" и "не все". Нечеткое множество, определенное на множестве чисел, называется нечеткими числами (fuzzy numbers). По тому же принципу, что и множество f_SEVERAL, можно определить нечеткие множествами/для понятия "мало" f_MOST для понятия "почти".

Теперь распределение возможностей для P(RED) представляется формулой

f_P(RED) = SEVERAL / 10,

которая после подстановки дает

{(0.3, 0.2), (0.4, 0.6), (0.5, 1.0), (0.6, 1.0), (0.7, 0.6), (0.8, 0.3)}.

Выражение (0.3, 0.2) ~ f_P(RED) означает, что шанс на то, что P(RED) = 0.3, равен 20%. Можно рассматривать f_P(RED) как нечеткую вероятность (fuzzy probability).

Полагая, что почти любое понятие может быть областью определения такой функции, естественно ввести в обиход и понятие "нечеткое значение правдоподобия". Мы часто оцениваем некоторое утверждение как "очень правдоподобное" или "частично правдоподобное". Таким образом, можно представить себе нечеткое множество

f_true-: [0 , 1]-> [0, 1],

где и область определения, и область значений функции f_true являются возможными значениями правдоподобия в нечеткой логике. Следовательно, можно получить

TRUE(FASR-CAR(Porsche-944)) = 1

даже при FASR-CAR(Porsche-944) = 0.9, поскольку (0.9, 1.0)~f_true Это означает, что любое предположение относительно значения 0.9 рассматривается как "достаточно правдоподобное". Таким образом, можно с уверенностью сказать, что Porsche-944 является быстрым автомобилем, несмотря на то, что на рынке есть и более скоростные.