Функции Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

где v — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функции Бесселя. Функции J _v (z) и J_ _v (z) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений п (это так называемые функции Бесселя первого рода): где для гамма-функции используется следующее представление:

Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от J _v (z), определяется как и задает функции Бесселя второго рода Y _v (z).

Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция Бесселя первого и второго рода связаны следующим выражением:

• bessel j(nu,Z) — возвращает функцию Бесселя первого рода, J _v (z), для каждого элемента комплексного массива Z. Порядок ш может не быть целым, однако должен быть вещественным. Аргумент Z может быть комплексным. Результат вещественный, если Z положительно. Если nu и Z — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если любая входная величина — скаляр, результат расширяется до размера другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции.

• bessely(nu.Z) — возвращает функцию Бесселя второго рода, Y _v (z).

•   [J.ierr] = besse1j(nu,Z) и [Y.ierr] = bessely(nu.Z) функции всегда возвращают массив с флагами ошибок:

  •  ierr = 1 — запрещенные аргументы;

  • ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

  •  ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

  • ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

  • ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

Примеры:

» S=[2-51.4.7];T=[8.l.3]:g=besselj(T,S)

g=

0.1114-0.05081 -0.0660 -0.1676 

» S-[2-5i,4.7];T=[8.1.3J;[g.ierr]=bessely(T,S) 

g=

0.1871 - 0.03241 0.3979 0.2681 

ierr =

0 0 0

•  besselh(nu,К,Z) — для К=1 или 2 возвращает функцию Бесселя третьего рода (функцию Ханкеля) для каждого элемента комплексного массива Z. Если nu и Z — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если одна из входных величин — скаляр, результат формируется по размеру другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции.

• bessel h(nu.Z) — использует по умолчанию К = 1. 

• besselh(nu.l.Z.l) — масштабирует H ⁽¹⁾ _v (z) с коэффициентом exp(-i*z). 

• besse1h(nu,2,Z.l) — масштабирует H ⁽²⁾ _v (z) с коэффициентом exp(+i*z). 

• [H.ierr] = besselhC...) — всегда возвращает массив с флагами ошибок:

  • ierr = 1 — запрещенные аргументы;

  •  ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

  •  ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

  • ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

  • ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

» D=[1.3+2i];F=[3.2]:[K.ierr]=besselk(F,D) 

К =

7.1013 -0.0401 - 0.02851

 lerr =

0 0

Естественно, что возможно построение графиков специальных функций.

В качестве примера рассмотрим m-файл-сценарий, приведенный ниже:

х=0:0.1:10;

y0=besselj(0.x);

y1=besselj(1.x):

y2=besselj(2.x);

y3=besselj(3.x);

plot(x,y0,.'-m',x,y1,'-r',x,y2,'-.k',x,y3,'-b')

legend('besselj(0.x)'. 'besselj(l.x)' ,'besse1j(2,x)'. ⁽ besselj(3,x)');

Рис. 9.1 иллюстрирует построение четырех функций Бесселя bessel j(n,x) для п-0, 1, 2 и 3 с легендой, облегчающей идентификацию каждой кривой рисунка.

Рис. 9.1. Графики четырех функций Бесселя besselj(n,x)

Эти графики дают наглядное представление о поведении функций Бесселя, широко используемых при анализе поведения систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.