21.2. Методика Перла

Альтернативой теории Демпстера—Шефера является методика Перла [Pearl, 1986], в которой свидетельства учитываются на основе Байесовского подхода к группированию и распространению влияния свидетельств на достоверность гипотез. Как и в методике, предложенной Гордоном (Gordon) и Шортлиффом (Shortliffe), предполагается, что в пространстве гипотез выделено некоторое подмножество гипотез, представляющих интерес в определенном семантическом контексте, причем это подмножество имеет иерархическую структуру.

Предполагается также, что еще до получения свидетельств с каждой отдельной гипотезой связано определенное значение степени доверия к ее правдоподобности. Перл не уточняет, каким именно способом формируются эти исходные значения, но скорее всего это должен сделать эксперт в предметной области при формулировке гипотез.

От эксперта также требуется выделить множество гипотез S, на которые непосредственно распространяется определенное множество свидетельств Е. Если свидетельства из Е непосредственно влияют на гипотезы из S, то должен существовать какой-то причинный механизм, связывающий каждый член множества S со свидетельствами, причем он является уникальным для каждого из них. Однако сами по себе свидетельства в множестве Е не несут никакой информации, которая позволила бы нам отдать предпочтение одному из членов S перед другими.

Это отображение множеств друг на друга позволяет ввести понятие условной независимости между свидетельствами и отдельными гипотезами h_i:

Р(Е | S, h_i) = Р(Е | S, h₁), для всех h_i S.

С помощью отношения вероятностей можно количественно оценить степень, с которой свидетельства подтверждают или опровергают множество гипотез S:

лS=[P(E|S)] / [P(E|-S)].

Влияние свидетельств Е на множество S вычисляется следующим образом. Каждая отдельная гипотеза h_i, принадлежащая множеству S, получает вес W_i = л_S , в то время как каждая гипотеза из дополняющего множества S^C получает вес W_i = 1. Все это выполняется на фазе распределения весов.

Затем, когда наступает фаза обновления, вычисляется новое значение функции доверия ВЕL'(h_i) по ее прежнему значению ВЕL(h_i):

BEL'(h_i) = P(h_i | Е) = a_sW_iВЕL(h_i),

где a_s — коэффициент нормализации, заданный соотношением

a_s=( _i[W_iBEL'(h_i))^-1.]

Таким образом, степень доверия, назначенная множеству гипотез, распределяется между членами этого множества как функция их априорных вероятностей. В то же время степень доверия, назначенная группе гипотез, является суммой соответствующих показателей элементов этой группы. Обновление значений показателей доверия может выполняться рекурсивно, т.е. апостериорные оценки, полученные на основании одних свидетельств, могут использоваться в качестве априорных оценок для следующего цикла обновления при получении новых свидетельств.

Вся схема вычислений основана на предположении об условной независимости и соблюдении симметричности множеством S^C, дополняющим S. Из соотношения

Р(Е | S^C, h_i) = Р(Е | S^C, h_i)

для всех

h_i S^C следует,

что Р(Е | h_i) = Р(Е | S), если h_i, h_i S, иначе Р(Е | S^C).

Из этого соотношения и правила Байеса следует, что P(h,| Е) = a_sX_sP(h,), если Л, е S, иначе a_sP(h,).

Но, хотя Перл использует формализм Байеса, частичное свидетельство в пользу какой-либо гипотезы не может быть истолковано и как частичная поддержка отрицания этой гипотезы. Свидетельство в пользу подмножества гипотез S не может быть истолковано как свидетельство в пользу дополнения к этому подмножеству 5^е.

Распределение свидетельств в пользу подмножества между отдельными гипотезами восстанавливает точечное распределение вероятностей на пространстве гипотез, но это происходит за счет точности оценок для отдельных гипотез. Перл утверждает, что нет необходимости распределять общий показатель, взятый для всего подмножества S, на его элементы до тех пор, пока не будут получены дополнительные свидетельства (или все возможные). Нормализацию также можно отложить до тех пор, пока полученные свидетельства не подтолкнут систему к выделению определенных гипотез (возможно, разных). Например, если получены свидетельства Е₁, ..., Е_n соответственно в пользу гипотез S₁, ..., S_n, то веса будут комбинироваться мультипликативно

W_i(E₁,...,E_n)=W_1,i,W_2,i... W_n,i

где

W_k,i =л_Sk если hi S_k,

иначе 1 .

Перл предложил также и альтернативный механизм обновления, который позволяет обойтись без нормализации и включает распространение пересмотра параметров гипотез как вверх, так и вниз по иерархической структуре с помощью передачи сообщений. С точки зрения практической реализации этот механизм кажется более привлекательным, чем правило Демпстера. Перл утверждает, что метод распространения, основанный на передаче сообщений, достаточно прозрачен, поскольку пути влияния имеют семантическое обоснование. Отказ от глобальной нормализации позволяет лучше понять результаты на промежуточных этапах распространения. Остается только один числовой параметр — отношение вероятностей, — смысл которого достаточно понятен.

21.1. Байесовские сети

В работе [Pearl, 1988] описан формализм, которому автор присвоил название Байесовские сети. Этот механизм можно рассматривать как обобщение описанных в данном разделе иерархических сетей доверия. В Байесовской сети дуги между узлами также представляют причинные зависимости, но допускается ситуация, когда некоторые узлы имеют множество родителей, причем структура сети может содержать петли. Обновление оценок доверия выполняется с помощью передачи сообщений, как и в случае строгой иерархической организации, хотя действие этого механизма очевидно только для полидеревьев, т.е. сетей, в которых между любыми двумя узлами существует единственный путь.

Представляет интерес сравнение формализма Перла и теории Демпстера — Шефера.

• В системе Перла нужно присваивать априорные оценки доверия отдельным событиям, а в теории Демпстера — Шефера оценка распространяется на всю область анализа.
  
• В системе Перла определение функции ВЕL(h₁) через P(h₁) и BEL'(h₁) через P(h, | E) позволяет более корректно обосновать эти функции на основе выводов теории вероятностей, чего нельзя сказать о правилах комбинирования Демпстера, с чем согласился и Шефер в работе [Shafer, 1976].
  
• Йен [Yen, 1986] обратил внимание на то, что в формализме Перла теряется понятие доверительного интервала, внутри которого могут изменяться вероятностные оценки. Доверительные интервалы очень удобно использовать в экспертных системах, поскольку они позволяют судить о "качестве" гипотез, возможности их совершенствования и ассоциированной степени неопределенности.
  

В своей книге [Pearl, 1988] Перл совершенно справедливо отмечает, что теория Демпстера—Шефера основана на неполной вероятностной модели, а потому может дать только частичные ответы. Вместо того чтобы непосредственно оценить, насколько близка гипотеза к тому, чтобы ее можно было считать истинной, эта теория говорит, как сильно полученное свидетельство должно продвинуть нас к убеждению, что данная гипотеза истинна. В этом отношении теория Демпстера—Шефера значительно больше напоминает объективистские методы проверки значимости с использованием доверительных интервалов, чем субъективистские методы на основе Байесовского подхода [Neapolitan, 1990].

Но, несмотря на отмеченные различия, в обоих подходах есть много общего, почему мы и рассматриваем их совместно в рамках одной главы. Ассоциирование свидетельств с подмножествами гипотез в рамках метода Перла не противоречит отображению одного множества на другое в теории Демпстера—Шефера. Оба варианта можно рассматривать как использование метафоры "массового распределения" в том смысле, что основное внимание уделяется распределению полученных свидетельств в контексте структурированного пространства альтернатив, причем оба метода позволяют вычислять значения функции доверия на основе простых вероятностных оценок.