Канонический вид кривой Безье

Рассмотрим канонический вид кривой Безье и попытаемся понять, как из одной-единственной кривой получается бесконечно большое многообразие форм, которые используются в векторной компьютерной графике.

Общий вид кривой Безье имеет вот такую конструкцию (рис. 12.25).

Рис. 12.25. Канонический вид кривой Безье

Причем, это уже не математическое описание, а сугубо прикладное отображение, именно то, которое знакомо всем пользователям векторных программ.

Замечание

Такое отображение все чаще используется и в программах пиксельной графики, а также в программах верстки.

Для построения этой кривой требуются четыре контрольные точки. Но кривая физически проходит только через две из них, они получили название опорных. Одна из точек называется начальной (start point), а другая — конечной (end point). Две точки остаются в стороне, они получили название управляющих (control point).

И для того чтобы их не "потерять" (особенно когда в документе кривых насчитываются многие десятки и сотни), в программах векторной графики, да и в любых других программах, управляющие точки соединяются с опорными точками какой-нибудь линией. Иногда пунктирной, иногда тонкой сплошной.

Почему кривая располагает начальной и конечной точками? Потому что, вообще говоря, кривая Безье — это, прежде всего, вектор.

Справка

Слово "вектор" латинского происхождения: "vector" переводится как "несущий", в математике используется для обозначения отрезка определенной длины и направления. Два вектора считаются равными лишь в том случае, если у них не только одинаковы длины, но и совпадают направления (то есть они параллельны и одинаково ориентированы). При изменении направления меняется знак вектора. В естественных науках векторы изображают величины, которые имеют направление, например сила, скорость, ускорение и т. д.

Направление кривой, может быть, не всегда очевидно для пользователей векторной программы, но для самой программы оно всегда существенно. Направление контуров находит свою реализацию в так называемых составных контурах (compound paths). Если два векторных объекта, например образующих букву "о" и расположенных друг на друге, направлены в противоположные стороны (рис. 12.26), то изображение получится верное ("с дыркой посередине").

Если те же векторные контуры направлены в одну сторону, то в этом случае один контур просто перекрывает другой, не образуя прозрачной области (рис. 12.27).

Рис. 12.26. Составной контур с разнонаправленными векторами

Рис. 12.27. Составной контур с однонаправленными векторами